拓扑是“不量尺寸的几何学”，那么它的核心内容，主要方法是什么？

如果你问罗巴切夫斯基，他会说“附贴性是物体的一个特殊的属性。如果我们把这个性质掌握，而把物体其他的一切属性，不问是本质的或偶然出现的，均不予考虑，那么就说所考虑的是几何物体。”

01

拓扑的研究对象

拓扑学研究几何图形的拓扑性质，即在双向连续变换保持不变的性质，它允许拉伸、扭曲，但不能切断和黏合。如果从罗巴切夫斯基的视角看，就是不改变（不破坏也不增添）各部分的附贴关系。这一学科本质上是属于20世纪的抽象学科，过去一个长时期中叫做位置分析，现在叫做拓扑。但其思想萌芽却可以追溯到欧拉的哥尼斯堡七桥问题（1736年，如图1）、地图四色问题（1852年）和莫尼乌斯带（1858年）等问题的研究。

七桥问题要求设计一条散步路线，使河上每个桥都只走过一次，这样的路径称为欧拉路径，其存在性依赖于图的整体连接方式和各顶点的度数，这些都是拓扑性质。

奇妙的是拓扑学在20世纪的发展，却分裂成两个有些分立的部分：点集拓扑和组合拓扑。实际上，这两个分支从看待几何图形的观点到发展动力都不相同。前者把几何图形看作是点的集合，又常把这整个集合看作是一个空间。后者把几何图形看作是由较小的构件组成的，正如墙壁是用砖砌成的一样。

到现在，拓扑学又有点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑、几何拓扑等不同的分支，简要介绍下它们分别在研究什么。

点集拓扑的主要目的是对拓扑学进行公理化，通过最一般的框架（如开集公理）抽象化“邻近性”和“连续性”，为其他分支提供基础。

代数拓扑从组合拓扑发展而来，现在主要是通过代数结构和代数不变量区分拓扑空间，例如二维紧曲面分类。

微分拓扑研究微分流形及其光滑映射的整体性质，讨论拓扑流形上微分结构的存在唯一性、光滑映射的性质和流形的整体不变量等问题。

几何拓扑通过几何方法（如曲率、度量），研究低维流形（如二维曲面、三维和四维流形）的几何结构及分类。由佩雷尔曼证明的三维庞加莱猜想，便是其中一个著名问题。

下面我们主要介绍20世纪发展起来的点集拓扑和代数拓扑，以它们的研究思路为例，体会整个拓扑学的关注点。

02

点集拓扑

注意到拓扑变换就是双向连续的一一映射，那么下个问题就是怎么刻画连续变换？

连续性到底是什么？要怎么刻画连续性？这是个非常深刻而又重要的问题。当时的数学家认识到点集论是连续性研究中的基本途径。点集只是互不相关的一堆点，而空间则通过某种捆扎的概念使点与点之间发生关系；这是空间不同于点集的关键。例如欧氏空间中距离这一概念就表明点与点之间有多远，尤其是使我们能定义一个点集的极限点，进而可以刻画连续。

由于想把康托尔的集合论和函数空间的研究统一起来，弗雷歇首先在1906年发动了抽象空间的研究。弗雷歇指出，这捆扎概念不必是欧几里得的距离函数。他提取距离这一概念的核心内容，引进了度量的概念。对于度量空间，说到一个点的邻域时，指的是离开这点不到某个量epsilon那么远的全部点。对于一个给定的点集，甚至不必引进度量，还能用一些方式来确定某些子集作为邻域。这样的空间叫做具有邻域拓扑的空间。无论是距离、度量还是邻域，都是在刻画“附贴性”。如果用莱布尼茨在微积分中的观点看，就是在刻画“点的相邻”。

正是豪斯多夫1914年在他的著作《点集论纲要》中使用了邻域概念，并且根据这个概念建立了抽象空间的完整理论。有了邻域的概念就可以定义开集、闭集、紧集、连通，还能引进连续变换和同胚等一系列的概念，并去发现在连续变换和同胚下保持不变的性质。所以《点集论纲要》也标志着点集拓扑学的正式诞生。

随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的一些拓扑性质（紧致性、可分性、连通性等）进行了深入考察。20世纪30年代中期起，法国布尔巴基学派的系统研究更使点集拓扑学趋于成熟，成为二战后数学的基础学科。

但点集拓扑学发展的主要动力是公理化，希望直接用公理法来定义附贴性，进而引出拓扑空间的概念——近代拓扑学中最一般的空间概念。这是20世纪数学抽象化的一个硕果，是19世纪末康托的集合论观点和希尔伯特的公理化方法相互结合所引出的一大抽象分支。（在20世纪上半叶，实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数等具有标志性的四大抽象分支崛兴。）

03

组合拓扑

组合拓扑要怎么去研究拓扑性质呢？几何图形的第一个组合性质是欧拉公式，即大家熟悉的V-E+F=2。它属于拓扑性质，因为在凸多面体受到任意拓扑变换时，这个公式仍然成立。

但真正给拓扑研究提出恰当思路的是莫比乌斯，他在1863年强调把一个多面体的表面看成二维多边形的一个集合，既然多边形能剖分成三角形，那原图形是三角形的一个集合。曲面拓扑学的组合方法就在于用对三角剖分的研究来代替对曲面的研究。当然关注的是不依赖于三角剖分的选取的那种性质。

引入三角剖分后有什么好处呢？以前只有凸多面体有欧拉示性数，现在任意曲面都可以有它的三角剖分的欧拉示性数了，例如球面的三角剖分的欧拉示性数是2（读者可以自己验证）。三角剖分还有一个重要性质，即可定向性。欧拉示性数和可定向/不可定向性给出了关于闭曲面的所谓拓扑不变量的一个完全系，即两个闭曲面同胚当且仅当它们的三角剖分具有相同的欧拉示性数，并且同为可定向或不可定向的。这样可以感受到，点集拓扑和组合拓扑用不同的想法去确定一个变换是否为拓扑变换，以及研究拓扑性质。

如果能够把闭曲面某个三角剖分里所有的三角形都给以定向，使得每两个具有公共边的三角形都具有相符的定向，则这个三角剖分叫作可定向的。如果两个三角形所取定的定向在公共边上所诱导的定向相反，则这两个三角形所取的定向是相符的。

实际上，双侧曲面的任何三角剖分是可定向的，单侧曲面的任何三角剖分是不可定向的。

组合方法更大的意义，在于它开辟了应用某些代数方法来解决拓扑问题的可能性。为什么从单纯的几何视角向代数视角转变？一是直观的几何方法在高维空间中难以操作，而代数方法则不受维度限制；二是通过抽象化统一处理不同的几何对象，可以系统地计算拓扑不变量。因此将拓扑学的研究对象和研究方法代数化，就显得格外重要。

从三角剖分这个组合方法出发，庞加莱首先定义了图形的边缘、闭链、同调等概念。用“边缘”来描述高维流形的边界，用“闭链”来描述在同调论中没有“边缘”的链，用“同调”描述定向图形的边缘关系。简单来说，这些概念都是为了刻画一个拓扑的“洞”的结构。因为最先系统地一般地探讨几何图形的组合理论，庞加莱被公认为是组合拓扑的奠基者。

而后1926年诺特首先洞察到群论在组合拓扑学研究中的重要意义。在她的影响下，霍普夫1928年定义了同调群。同调群的引进就将拓扑问题转化为抽象代数问题，同调论则提供了拓扑学中易于计算的、常用的不变量。从拓扑到代数过渡的另一条途径是同伦理论，是与流形之间的连续映射的连续变形有关的研究。同调论与同伦论一起推动组合拓扑学逐步演变成主要利用抽象代数方法的代数拓扑学。

04

总结

面对点集拓扑学的公理化思想，我们不由得进一步思考公理化的意义何在？一方面是它赋予了公理系统的最大的一般性，一方面是人们觉得抽象而难以理解。面对组合拓扑学的代数方法，我们不由得进一步思考代数何以巧妙地成为研究拓扑的重要方法？代数、分析、几何三大数学领域之间何以产生如几何数论、代数拓扑、解析数论等等众多的交叉分支？

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来源：数学经纬网

编辑：亦山

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